問 2

２．N 個の一連のデータ (x₁, y₁), (x₂, y₂), ..., (x_N, y_N)を、 測定値 y_i の分散が x_i によらず σ² で一定であるとして、 y = ax という関係式に最小２乗法であてはめることを考える。 S_x = Σ x_i、 S_y = Σ y_i、 S_xx = Σ x_i²、 S_xy = Σ x_iy_i、 S_yy = Σ y_i² を用いて推定される係数 a を表せ。 また推定される係数aの分散 ⟨⟨ a² ⟩⟩ はどのようにあらわされるか？

解答例

残差２乗和 S は

\[ S = \sum_i {(y_i - a x_i)^2} = S_{yy} - 2a S_{xy} + a^2 S_{xx} \]

正規方程式は

\[ -\frac{1}{2} \frac{\partial S}{\partial a} = S_{xy} - a S_{xx} \]

したがって

\[ a = \frac{S_{xy}}{S_{xx}} \]

\(a\) の分散は

\[ \langle \langle a^2 \rangle \rangle = \sum_i \frac{x_i^2}{S_{xx}^2} \langle \langle y_i^2 \rangle \rangle = \frac{S_{xx}}{S_{xx}^2} \sigma^2 = \frac{\sigma^2}{S_{xx}} \]