問 9

９．【直交多項式】 次のような k 次の多項式 Q_k(x)を考える（N は自然数）：

Q₀(x) = 1,
Q₁(x) = 1 - 2 (x/N),
Q₂(x) = 1 - 6 (x/N) + 6 (x^[2]/N^[2]),
Q₃(x) = 1 - 12 (x/N) + 30 (x^[2]/N^[2]) - 20 (x^[3]/N^[3]),
Q₄(x) = 1 - 20 (x/N) + 90 (x^[2]/N^[2]) - 140 (x^[3]/N^[3]) + 70 (x^[4]/N^[4]) ,
....

ここで p^[n]は階乗関数で p(p - 1)(p - 2) … (p - n + 1) を表す。

９-１．N = 5 の場合について Q₀(x)、Q₁(x)、Q₂(x)、Q₃(x) のグラフを書け（0 ≤ x ≤ N）。

９-２．N = 5 の場合について、m ≠ n ならば Σ [Q_m(i) Q_n(i)] = 0となることを確認せよ。 ここでは Σ i = 0から N までの総和を取る。

９-３．等しい間隔 h で取られた N + 1 個のデータ(i h, y_i)（i = 0, 1, …, N）に対し、 m 次の多項式 y(t) = a₀ Q₀(t/h) + a₁ Q₁(t/h) + … + a_m Q_m(t/h) を最小２乗法を用いてあてはめる。 この時、係数a_jが Σ [Q_j(i)y_j]/ Σ [(Q_j(i))²]で与えられることを示せ。

解答例

9-1

N = 5 の場合について、Q₀(x)、Q₁(x)、Q₂(x)、Q₃(x)、Q₄(x) のグラフを書くと次のようになる。

9-2

N = 5 の場合について、Q_k(x) の x = 0, 1, 2, 3, 4, 5 での値を計算すると下表のようになる。

どの組み合わせについても m ≠ n ならば Σ [Q_m(i) Q_n(i)] = 0 が満たされている。

9-3

正規方程式は次のように書ける。

\[ \left( \begin{array}{cccc} \{Q_0\}\{Q_0\} & \{Q_0\}\{Q_1\} & \cdots & \{Q_0\}\{Q_N\}\\ \{Q_1\}\{Q_0\} & \{Q_1\}\{Q_1\} & \cdots & \{Q_1\}\{Q_N\}\\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\ \{Q_N\}\{Q_0\} & \{Q_N\}\{Q_1\} & \cdots & \{Q_N\}\{Q_N\} \end{array} \right) \left( \begin{array}{c} a_0 \\ a_1 \\ \vdots \\ a_N \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} \{Q_0\}\{y\} \\ \{Q_1\}\{y\} \\ \vdots \\ \{Q_N\}\{y\} \end{array} \right) \]

ここで {X}{Y} は Σ [X(i) Y(i)] を表す。 m ≠ n ならば (Q_m}{Q_n} = 0 だから、行列は対角化され、 a_j = {Q_j}{y}/{Q_j}{Q_j} で与えられる。