問 6

6．【2018年度試験問題から】以下の文章を読み問いに答えよ。

6-１．文中の イ～ヘに当てはまる適切な数字・数式を記せ。

6-２．Yの論旨に沿って、下線部 (1) で計算される z が自由度 (　ロ　, 　ニ　 )のF分布に従うと考えられることを示せ。

6-３．Q先生の説明の下線部 (2) で、なぜ棄却域を両側に取らず片側に取るのか、 対立仮説H₁の下で H₀ の棄却率を最大化する立場から、 教員（Yの方）にも分かるように説明せよ。

6-４．標準正規分布に従う変数 u と自由度 f の χ² 分布に従う変数 v_f を取った時、 u/\(\sqrt{v_{\rm{f}}/f}\) が自由度 f の t分布に従うことに注意して、 下線部 (3) が成り立つことを教員（Yの方）にも分かるように説明せよ。

解答例

6-1

分散 σ² の同じ確率分布に従う独立な 10 個のデータ {x_i}の和の分散は、

⟨⟨ (Σ x_i)² ⟩⟩ = Σ ⟨⟨ x_i² ⟩⟩ = 10 σ²

なので標本平均 Σ x_i/10 の分散は ⟨⟨ (a x)² ⟩⟩ = a² ⟨⟨ x² ⟩⟩ だから σ²/10 になる。
【イ】

中心極限定理から、10粒の重さの標本平均 m は、帰無仮説 H₀ の下で、 平均が25.0 mg、分散が σ²/10 に従うので、 (m - 25.0)/(σ\(\sqrt{10}\)) は標準化正規分布 N(0, 1)に従う。 標準化正規変数を２乗したものを φ 個足したものは、自由度 φ の χ²分布に従うから、 これは1個の標準化正規変数を２乗したわけだから、自由度 1 の χ²分布に従う。
【ロ】

残差2乗和を分散 σ² で割ったものは、 自由度 10 - 1 = 9 の χ²分布に従うから、 残差2乗和を 9 で割った標本分散に付いていうと。 σ²/9 で割ったものが、 自由度 10 - 1 = 9 の χ²分布に従うことになる。
【ハ】【ニ】

(m - 25.0)/(σ\(\sqrt{10}\)) は標準化正規分布に従い、 標本分散を σ²で割ったものは、 自由度 9 の χ²変数を 9 で割ったものになるから、 t = (23.5 - 25.0)/(2.0/\(\sqrt{10}\) ) は自由度 9 の t分布に従う。
【ホ】

この場合有意水準 s % の棄却域としては、6-3 の設問にもあるように上側 s %点を取る必要があり、 この設定では有意水準 2.5 %である。
【ヘ】

6-2

s を標本標準偏差として、計算を少しくどく書くと次のようになる。

\[ z = \frac{(x - \mu)^2}{\sigma^2 /10} \left/ \frac{s^2}{(\sigma^2 /9) \times 9} \right. = \frac{2.5^2 \times 10}{2.0^2} = \frac{22.5}{4.0} \]

6-3

対立仮説 H₁ は10本の標本平均 m mg が25.0 mgからかけ離れていること。 つまり棄却域としては |25.0 - m| が大きければそれでよいので、 上側に棄却域をすべて持って来る必要がある。

6-4

t² = u²/ [v_f/f] = [v₁/1]/ [v_f/f] であるから、 これは F 分布の定義から自由度(1, f)の F 分布に従う。

この時、t 分布の上側・下側（t < 0）の領域は、それぞれ F 分布の上側に対応し、 t 分布の両側 2.5%点は F分布の上側5%点に移ることになる。