9．EXCELの乱数を発生させる関数 rand() を用いて一様乱数３個からなるデータ \((x_1, x_2, x_3)\) を1000回発生させ、 標本平均とメディアン（中央値）の平均と分散を求める数値実験を行った。 この実験についての昭和の無能老人 Y と U くんの会話を読み問いに答えよ。
9-１．文中の イ～ヌに当てはまる適切な数・数式を記せ。
9-２．実際に数値実験を行って、標本平均とメディアンの平均と分散を求め、Uくんの評価と一致するかどうか確認せよ。
rand() 関数で与えられるランダム変数の分布関数 \(f(x)\) は次式で与えられる：
\[ f(x) = \left\{ \begin{array}{rl} 1 & 0 \le x < 1\\ 0 & \rm{otherwise} \end{array} \right. \]
したがって平均と分散は 【イ、ロ】
\[ \langle x \rangle = \int x f(x) ~\rmd x = \frac{1}{2}\\ \langle \langle x^2 \rangle \rangle = \langle (x - \langle x \rangle)^2 \rangle = \int {\left( x - \frac{1}{2} \right)^2 f(x) ~\rmd x} = \frac{1}{12} \]
\(N\) 個の標本平均の分散は\(\langle \langle x^2 \rangle \rangle/N \) になるので 【ハ、ニ】
\[ \langle \bar{x} \rangle = \langle x \rangle = \frac{1}{2}\\ \langle \langle \bar{x}^2 \rangle \rangle = \frac{1}{3} \langle \langle x^2 \rangle \rangle = \frac{1}{36} \]
[1/3, 2/3) の一様乱数を \(y\) とすると、[0, 1) の一様乱数 \(x\) で \( y = (1 + x)/3\) で与えられるので 【ホ、ヘ】
\[ \langle y \rangle = \left \langle \frac{1 + x}{3} \right \rangle = \frac{1}{2}\\ \langle \langle y^2 \rangle \rangle = \left( \frac{1}{3} \right)^2 \langle \langle x^2 \rangle \rangle = \frac{1}{108} \]
\((x_1, x_2, x_3)\) がすべて \(y\) 以下の確率は \(y^3\) \((x_1, x_2, x_3)\) の内２つが \(y\) 以下で１つが \(y\) 以上の確率は \({}_3 {\rm{C}}_{2} y^2 (1 - y)\) なので、 【ト】
\[ F(y) = y^3 + 3 y^2 (1 - y) = 3y^2 - 2y^3, ~~~ 0 \le y < 1 \]
メディアン \(\hat{x}\) の分布関数 \(f(y)\) は \(F(y)\) を微分して、 【チ】
\[ f(y) = 6y - 6y^2 = 6y (1 - y), ~~~ 0 \le y < 1 \]
メディアン \(\hat{x}\) の平均と分散は、 【リ、ヌ】
\[ \langle \hat{x} \rangle = \int y f(y) ~\rmd y = \frac{1}{2}\\ \langle \langle \hat{x}^2 \rangle \rangle = \int {\left( y - \frac{1}{2} \right)^2 f(y) ~\rmd y} = \frac{1}{20} \]