問 10

10．F分布とt分布について次のことを検討せよ。

10-１．x = F(φ₁, φ₂; P) は F分布に従うランダム変数が x 以上の値を取る確率が P であることを示す（F分布の積率分布関数の逆関数相当）。 φ₁は分子、φ₁は分母の自由度に対応する。 F(φ₁, φ₂; P) = 1/F(φ₂, φ₁; P) であることを示せ。 また実際に表計算ソフト等で F(20, 30; 0.025) を計算し（EXCELであれば F.INV.RT(0.025,20,30)）、 この関係が成り立っていることを確認せよ。

10-２．x = t(φ; P) は自由度 φ の t分布に従うランダム変数の絶対値が x 以上の値を取る確率が P であることを示す。 [t(φ; P)]² = F(1, φ; P)であることを示せ。 また実際に t(20; 0.05) と F(1, 20; 0.05) の計算値を比較してこの関係が成り立っていることを確認せよ （EXCELであれば T.INV.2T(0.05,20) と F.INV.RT(0.05,1,20) を比較検討すればよい）。

解答例

10-1

自由度 φ₁ の χ² 分布に従うランダム変数を v₁、 自由度 φ₂ の χ² 分布に従うランダム変数を v₂、 とすると x = (v₁/φ₁) / (v₂/φ₂) は自由度 (φ₁, φ₂ ) の Ｆ 分布に従う。

さて x = F(φ₁, φ₂; P) の意味するところをあからさまに書いてみると

Pr[ x > F(φ₁, φ₂; P)] = P

ということである。 これは余事象を考えれば、次のことを意味する：

Pr[ x ≤ F(φ₁, φ₂; P)] = 1 - P

これは逆数をとってみると

Pr[ 1/x ≥ 1/F(φ₁, φ₂; P)] = 1 - P

ところで x の逆数は自由度 (φ₂, φ₁ ) の F 分布に従うので、 これはとりもなおさず、

F(φ₂, φ₁; 1 - P) = 1/F(φ₁, φ₂; P)

を意味している。

EXCEL で F.INV.RT(0.025,20,30) を計算すると2.19516 であり、 F.INV.RT(0.975,30,20) は0.455548 で、この逆数は2.19516 で F.INV.RT(0.025,20,30) と一致した。

10-2

標準化正規分布 N(0, 1) に従うランダム変数を w、自由度 φ の χ² 分布に従うランダム変数を v、 とすると x = w/(v / φ)^1/2 は自由度 φ の t 分布に従う。 ところで w² は、自由度 1 の χ² 分布に従うので、 x² = w²/ (v / φ) は自由度 (1, φ) の F 分布に従う。

さて全問と同様、x = t(φ; P) の意味するところをあからさまに書いてみると

Pr[ |x| > t(φ; P)] = P

ということである。 これは２乗をとってみると

Pr[ x² > [t(φ; P)]²] = P

先に示したように、x² は自由度 (1, φ) の F 分布に従うので、 これはとりもなおさず、

F(1, φ P) = [t(φ; P)]²

を意味している。

EXCEL で T.INV.2T(0.05,20) を計算すると2.08596であり、 F.INV.RT(0.05,1,20) は 4.3512435 で、この平方根をとると2.08596 で T.INV.2T(0.05,20) と一致した。