化学実験法問題集：統計解説12

１2．[2017 年度の問題] K大学の学生実験室では、常備している70本のホールピペットが年間8本ぐらいのペースで破損し適宜補充しているという。ホールピペットの寿命についての次のSくんと無能の昭和老人YYの会話について　　に適切な式・数値を入れよ。

YY: 1993年以前はホールピペットに検定証印（。1992年改正前の計量法では、ホールピペットは国の検定を受けていた）が付いていたが、 93年以降なくなった。毎年8本ずつ消えていったとして、2003年ごろにはなくなったわけだね。
S: 話が違うよね。毎年全体のa = 8/70ずつ消えていくということは、毎年全体の (1 - a) だけ残っているということだから、t 年後には　イ　残っていることになる。指数関数で近似すれば　ロ　だ。 23 年たった今でも、70本の内 5本ぐらいには検定証印が残ってるんじゃないかな。
YY: 言われてみると見た気がするね。ところで生き残ってるのが　ロ　だとすると、ピペットの平均寿命は、ちょうど半分壊れるころ　ロ　= 0.5だから 6 年ぐらいということだね。
S: それはメディアン（中央値）だよ。t 年目に壊れる確率は　ハ　で与えられるから、平均寿命は　ニ　年ぐらいじゃないかな。

解答例

一定割合ずつ消えていくわけだから、\(t\) 年後には \((1 - a)^t\) だけ残っている。指数関数で近似すれば \(\exp(-at)\) 。
【イ、ロ】

\(t\) 年目に壊れる確率は、\(t\) 年まで残っていて\(t\) 年目に壊れるわけだから \(a \exp(-at)\) 。平均寿命は\(\int t a \exp(-at) \rmd~t = 1/a\) で、約70/8 = 9 年。
【ハ、ニ】

問 12