問 1８

18．物体 Q₁、Q₂、Q₃ の重さ m₁、m₂、m₃ を天秤で測定する。 天秤の測定値のばらつき δ の平均は 0 で標準偏差は σ であるとする。

この時、物体 Q₁、Q₂、Q₃ を２つずつ同時にとって、 ３回の秤量で下記３種類の秤量値 w₁、w₂、w₃ を得たとしよう（δ は測定の際のばらつき）。

w₁ = m₁ + m₂ + δ₁
w₂ = m₂ + m₃ + δ₂
w₃ = m₃ + m₁ + δ₃

w₁、w₂、w₃ から m₁、m₂、m₃ を m₁ = (w₁ + w₃ - w₂)/2といった関係式で得るとしたとき、 得られるm₁（あるいは m₂ または m₃）の測定値の標準偏差はいくらになるか？

解答例

18

m₁ = (w₁ + w₃ - w₂)/2 であるので

\[ \langle \langle m_1^2 \rangle \rangle　= \left \langle \left \langle \left( \frac{w_1 + w_3 - w_2}{2} \right)^2 \right \rangle \right \rangle = \frac{1}{4} \langle \langle w_1^2 + w_2^2 + w_3^2 \rangle \rangle = \frac{3}{4} \sigma^2 \]

m₂、 m₃ についても同様で、 得られる重さの標準偏差は \(\sqrt{3}\) σ/2 になる。