図のように２本の薄い銅製のチューブ A と B を接触させて置き、 それぞれに90 °C と 10 °C の水を反対方向に同じ流量流し熱交換を行わせる。 流量が 1 L/min の時、Aの出口の水温は 70 °C に、Bの水温は 30 °Cになったとする。

(1) 流量を半分の0.5 L/minにしたら、ＡとＢの出口の水温はそれぞれ何 °Cになるだろうか？ またさらに流量を減らし0.2 L/minにしたらどうだろう？
(2) B の流れの向きを逆転させ、Aと並行に水を流すようにしたとしよう。 流量が0.5 L/minの時、ＡとＢの出口の水温はそれぞれ何 °Cになるだろうか？ また流量を 0.2 L/minにしたらどうか？

U君がこの問題を居間のテーブルにおいていたら、 高校入試の補習から帰って来た妹のPちゃんがやってきて解きはじめた。

P：出口と入口で A が x °C 下がると、Bも同じだけ上がるわよね。 だから A と B が接触している間、A と B の間の温度差は一定で 90 - (10 + x) = 80 - x。 A の温度が下がる度合い x は、A と B の接触時間と、A と B の温度差に比例するにちがいないわ。 接触している長さを 1 として流れの速さを v とすれば、k を定数として

\[ x = \frac{k} {v} (80 - x) \]

つまり

\[ x = \frac{80 k}{v + k} \]

になるわけよね、お兄ちゃん。 \(v\) が 1 で \(x\) が 20 だから \(k\) は1/3かしら？

U:さすがはわが妹。ややこしい話を持ち出してきては、 結局アンチョコを写すしかない能のない Y やどこぞの理学部の小賢しい学生とは大違いだ。

A と B を並行に流す場合には、温度差は距離 \(y\) とともに変化する。 この場合温度差は　イ　で表され、 微小な距離 \(\rmd y\) を考えると接触時間は \(\rmd y/v\) だから、\(\rmd y\) 進んだ時の \(x\) の変化 \(\rmd x\) については次式が成立する：

\(\rmd x = (k \rmd y / v) \) 　イ　 つまり \(\rmd x / \rmd y = kv\) 　イ　

だから出口におけるxの値は

\(x = 40[1 - \exp(-2k/v)]\) 　　 (a)

P：お兄ちゃん。分子分母はdで約分できるよ・・・・・・