問 2

２．厚さ2.0 mmのステンレスの板の上に厚さ1.5 mmのガラス板を密着して重ねて置いた。 ステンレス板の下面を200 °Cに、ガラス板の上面を100 °Cに保ったとすると、 定常状態でステンレスとガラスの接触面の温度は何°Cになるか？ またステンレスの板とガラス板の間に厚さ 0.1 mmの紙を差し込んだとすると、 紙の上下面の温度差は何°Cになるか？ ステンレス、ガラス、紙の熱伝導度をそれぞれ 16、1.2、0.06 W m^-1 K^-1 であるものとする。

解答例

2．

ステンレス板の熱伝達率を h_s、ガラス板の熱伝達率を h_g とする。 定常状態なので熱流束 J は一定で、ステンレス板とガラス板の接触面の温度を T_X °Cとすると

J = h_g (T_X - 100) = h_g (200 - T_X)

より

T_X = (200 h_s + 100 h_g)/(h_s + h_g)

ところで熱伝達率は熱伝導を用いて次のようになる：

h_s = 16 W m^-1 K^-1/2.0 mm = 8.0 kW m^-2 K^-1
h_g = 1.2 W m^-1 K^-1/1.5 mm = 0.8 kW m^-2 K^-1

したがって接触面の温度は T_X °C = 191 °C。

紙を挟んだ場合、紙の熱伝達率を h_p、ガラス板と紙の接触面の温度を T_X °C、 ステンレス板と紙の接触面の温度を T_Y °C とすると、熱流束 J について次式が成り立つ：

J = h_g (T_X - 100) = h_p (T_Y - T_X) = h_s (200 - T_Y)

したがって

(h_g^-1 + h_p^-1 + h_s^-1) J = 200 -100 = 100

紙の熱伝達率は h_p = 0.06 W m^-1 K^-1/0.1 mm = 0.6 kW m^-2 K^-1 なので J = 33 W m^-2。したがって

T_Y - T_X = J / h_p = 55

より、紙の上下面の温度差は55 °C。