５．【15年度試験問題から】ナス型フラスコに湯を100 mL入れて、室内（室温は28 °Cでほぼ一定で無風状態）に放置した時の温度変化を、 裸で置いた時とアルミホイルで包(くる)んだ時とで比較した結果を図に示す。 この冷却挙動を考察した以下の文章を読み、問いに答えよ。
\[ \frac{\rmd T}{\rmd t} = -k (T - T_{\rm{e}}) \]
\(t\) = 0で \(T = T_0\)とすると温度変化は次式のように表される：\(T\) = \(T_{\rm{e}}\) + イ
実際にデータに当てはめてみると、当てはめは非常によく、 係数 \(k\) はアルミホイルで包むことで 4.1×10-4 s-1 から2.2×10-4 s-1 にほぼ半分になっている。５-１．文中の イと ニ には適切な数式、ロ、ハ、ホには適切な数値を記し、{ A }、{ B }については適切な語を選べ。
５-２．上ではナス型フラスコを綿布で一重に包んだが、二重にすると熱伝達率は裸のフラスコに比べてどれだけ小さくなるか。またアルミホイルを二重にするとどうか。
ニュートンの冷却則から、
\(T\) = \(T_{\rm{e}}\) + \((T_0 - T_{rm{e}}) \exp(-kt)\)
【イ】
ステファン-ボルツマンの法則から、温度 \(T_1\) と \(T_2\) の間の熱輻射による輻射熱は、\(|T_1 - T_2| \ll T_2\) なら
\(\sigma T_2^4 - \sigma T_1^4 = \sigma (T_2^4 - T_1^4) \approx \sigma (\rmd T^4/\rmd T)_{T_{\rm{m}}} (T_2 - T_1) = 4 \sigma T_{\rm{m}}^3 (T_2 - T_1)\)
より、熱伝達率は \(4 \sigma T_{\rm{m}}^3\) で評価できる。
【ニ】
\[ h = \frac{C k}{S} = \rm{\frac{420 J~K^{-1}}{154 ~ cm^2}} k = 2.7 × 10^4 \rm{J~ m^{-2} ~K^{-1}} k \]
フラスコが裸の時は、\(h = 11.2~ \rm{W~ m^{-2} ~K^{-1}}\)黒体と見なした時の熱輻射による熱伝達率は平均温度が60 °C程度であるとして、
\(4 \sigma T_{\rm{m}}^3\) = 4×5.67×10-8 ×3333 W m-2 K-1 = 8.4 W m-2 K-1。
近似の粗さを考えれば、 これはアルミホイルでくるんだことによる熱伝達係数の低下量（5.2 W m-2 K-1）に相当すると考えてよいだろう。
空気層の熱伝達率 hA は
hA = (0.026 W m-2 K-1)/(0.5 mm) + 熱輻射 = (52 + 8) W m-2 K-1 = 60 W m-2 K-1
綿布の熱伝達率 hB は
hB = (0.08 W m-1 K-1)/(0.3 mm) = 270 W m-2 K-1
綿布と外気の間の熱伝達率 hC は裸の場合と同じとして
hC = 11.2 W m-2 K-1
全体としての熱伝達率 h は
1/h = 1/hA + 1/hB + 1/hC = (0.017 + 0.004 + 0.089) W-1 m2 K
h = 9.1 W m-2 K-1
したがって裸の場合と比較すると
h/hC = 0.81
より、綿布でくるむことで 20 %程度熱伝達率は低下すると考えられる。
【ホ】
またアルミホイルでくるんだ時より熱伝達率は大きく、保温効果は
{ B: よくない｝
1/h = 2/hA + 2/hB + 1/hC = (0.034 + 0.008 + 0.089) W-1 m2 K
h = 7.6 W-1 m2 K したがって裸の場合と比較すると
アルミホイルを二重にした時、ホイルをきちんと巻いて空気層があまり存在しないなら、熱伝達率は変わらないだろう。
1/h = (1/26 + 1/6.0) W-1 m2 K
より h = 4.9 m-2 K-1 で 20 %ぐらい低下する。